数列极限
定义
${x_{n}}$为一数列，若存在常数$a$,对于任意给定的正数$\varepsilon$($\varepsilon \rightarrow 0$),总存在正整数$N$,使得当$n>N$时，不等式$$|x_{n}-a|<\varepsilon$$都成立，那么就称常数$a$是数列$|x_{n}|$的极限,或者称为数列$|x_{n}|$收敛于a，记为$$\lim_{ n \to \infty }x_{n} = a $$或者$$x_{n} \to a (n\to \infty)$$
个人思考
定义可以简化为：${x_{n}}$对于 $\exists$常数$a$ ，$\forall \varepsilon>0(\varepsilon不管多小)$ ,$\exists N,使得n>时$ $$|x_{n}-a|>\varepsilon$$记为$$\lim_{ n \to \infty }x_{n} = a $$
例题
设$|q|<1$，证明等比数列$$1,q,q^2,\dots,q^{n-1},\dots$$的极限是0
思考
首先，找出等比数列的通项公式$q^{n-1}$,观察到$a=0$,$$|q^{n-1}-0|<\varepsilon,\\|q|^{n-1}<\varepsilon,\\ln{|q|^{n-1}}<\ln\varepsilon,\\(n-1)\ln|q|<\ln\varepsilon,\\n-1< \frac{{\ln{\varepsilon}}}{\ln{|q|}},\\n<1+\frac{{\ln{\varepsilon}}}{\ln{|q|}} $$再对不等式进行取整，即可得$N=\left[ 1+\frac{{\ln\varepsilon}}{{lin|q|}} \right]$
解题
证明：$\exists \varepsilon>0$ ,不妨设$\varepsilon<1$,$\exists N=\left[ 1+\frac{{\ln\varepsilon}}{{lin|q|}} \right]$,当$n>N$时，有$|q^{n-1}-0|<\varepsilon$
以上，$Q.E.D.$
